TỐNG ĐÌNH QUỲ

GIÁO TRÌNH

XÁC SUẤT
THỐNG KÊ
(Tái bán lần thử năm)

NHÀ XUẤT BẢ N BÁCH KHOA - HÀ NỘI

LỜI NÚI ĐẨU

Lý thuyết xác suất và thống kê toán học là một ngành khoa học
đang giữ vị trí quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng rộng râi và
phong phú của đời sống con người. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ
của khoa học và công nghệ, nhu cầu hiểu biết và sử dụng các công
cụ ngẫu nhiên trong phân tích và xử lý thông tin ngày càng trở nên
đặc biệt cần thiết. Các kiến thức và phương pháp của xác suất và
thống kê đă hỗ trợ hữu hiệu các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực
khoa học khác nhau như vật lý, hóa học, sinh y học, nông học, kinh
tế học, xã hội học, ngôn ngữ học...
Trong một chục năm gần đây, giáo trình xác suất thông kê đã trở
thành cơ sở của nhiều ngành học trong các trường đại học và cao đẳng,
từ đó xuất hiện nhu cầu học tập và nghiên cứu ứng dụng rất lớn, nhất là
đôi với sinh viên các ngành khoa học không chuyên về toán. Để thoả
mãn yêu cầu đó, giáo trình này cố gắng đáp ứng đòi hỏi của đông đảo
sinh viên nhằm hiểu biết sâu sắc hơn các khái niệm và phương pháp
tính xác suất và thông kê để học tập đạt hiệu quả cao hơn cũng như
ứng dụng môn học vào ngành học và môn học khác.

Giáo trình xác suất thống kê được viết cho thời gian giảng dạy
là 60 tiết học. Do đối tượng sinh viên rất đa dạng với trình độ toán cơ
bản khác nhau, chúng tôi đã cố gắng tìm những cách tiếp cận đơn
giản và hợp lý, và như vậy đã buộc phải bớt đi phần nào sự chặt chẽ
hình thức (vốn rất đặc trưng cho toán học) để giúp bạn đọc tiếp cận
dễ dàng hơn bản chất xác suất của các vấn đề đặt ra và tăng cường
kỹ năng phân tích, xử lý các tình huống, từ đó dần dần hình thành
một hệ thống khái niệm khá đầy đủ để đi sâu giải quyết các bài toán
ngày càng phức tạp hơn.
Giáo trình được chia thành 6 chương gồm 3 chương dành cho phần
xác suất và 3 chương cho phần phân tích thống kê. Nhũmg khái niệm và
công thức cơ bản được trình bày tương đối đơn giản, dễ hiểu và được

minh hoạ bằng nhiều thí dụ áp dụng. Các chứng minh khó được lượt bớt
có chọn lọc để giáo trình không quá cổng kềnh, mặc dù vậy các công
thức và vấn đề liên quan đều được nhắc đến đầy đủ để tiện không chỉ
cho học tập sâu hơn, mà còn có ích cho những bạn đọc muốn tra cứu,
tìm tòi phục vụ cho ứng dụng và tính toán thống kê. Cuối mỗi chương có
một loạt bài tập dành để bạn đọc tự giải nhằm hiểu biết sâu sắc hơn lý
thuyết và rèn luyện kỹ năng thực hành.
Hy vọng rằng giáo trình có ích cho bạn đọc xa gần, các sinh viên,
cán bộ giảng dạy ở các trường đại học và cao đẳng, các cán bộ khoa
học và kinh tế muốn tự học và tự nghiên cứu xác suất thống kê - môn
học thường được coi là khó tiếp thu. Tác giả cũng cám ơn mọi ý kiến
góp ý để quyển sách sẽ ngày càng được hoàn thiện hơn để góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học môn học này.
Trong lần tái bản này tại Nhà xuất bản Bách Khoa - Hà Nội, một số
lỗi chế bản đã được sửa chữa. Tác giả một lần nữa tỏ lời cảm ơn đẽn
những ý kiến góp ý của đông đảo bạn đọc để cải tiến giáo trình trong
lần tái bản tiếp theo.

TÁC GIẨ

Chương I

sự KIỆN NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÂC SUẤT
■

m

§1.KHÁI NIỆM Mỏ ĐẦU
1.1. Sự kiện ngẫu nhiên

Khái niệm thường gặp trong lý thuyết xác suất là sự kiện
(mà không thể định nghĩa chặt chẽ). Sự kiện đưỢc hiểu như là
một sự \âệc. một hiện tượng nào đó của cuộc sông tự nhiên và
xã hội.
Khi thực hiện một tập hợp điều kiện xác định, nói tắt là bộ
điều kiện, gọi là một phép thử, có thể có nhiều kễt cục khác nhau.
Thí dụ 1.1. Gieo một con xúc sắc đồng chât trên một mặt
phẳng (phép thử). Phép thử này có 6 kết cục là: xuất hiện mặt
1 , mặt 2,..., mặt 6 chấm. Mỗi kết cục này cùng với các kết quả
phức tạp hơn như: xuất hiện mặt có sô" chấm chẵn, mặt có sô"
chấm bội 3, đều có thể coi là các sự kiện.
Như vậy kết cục của một phép thử là một trưòng hỢp riêng
của sự kiện. Để cho tiện lợi sau này, ta ký hiệu sự kiện bằng
các chữ cái in hoa A,
c , ... Sự kiện được gọi là tất yếu, nếu
nó chắc chắn xảy ra, và đưỢc gọi là bất khả. nếu nó không thể
xảy ra khi thực hiện phép thử. Còn nếu sự kiện có thể xảy ra
hoặc không sẽ đưỢc gọi là sự kiện ngẫu nhiên. Từ đó, theo một
nghĩa nào đó, có thể coi các sự kiện tâ't yếu, ký hiệu là ư, và
bât khả, ký hiệu là V, như các trường hỢp riêng của sự kiện
ngẫu nhiên. Thí dụ, dưói những điều kiện xác định, nưốc đóng
báng ở 0'^C là sự kiện tất yếu; khi gieo một con xúc xắc, việc
xuât hiện mật bảv chà"m là sự kiện bất khả...
5

Để mô tả một phép thử người ta xác định tập hỢp các kết
cục có thể có. Tập hỢp tất cả các kết cục của một phép thử
(đưỢc gọi là các sự kiện sơ cấp, ký hiệu là coỊ) tạo thành không
gian các sự kiện sơ cấp, ký hiệu là Q = {cúịj i e /}, I là tập chỉ
sô", có thể vô hạn (đếm đưỢc hoặc không đếm đưỢc). Dễ thấy
trong thí dụ 1 . 1 , nếu ký hiệu Aị — sự kiện xuất hiện mặt i
chấm (i = 1 , 6) thì Q =
A 2, A 3, A 4, A 5, Ag} = {A„ i = 1 , 6}.
Trong nhiều hiện tưỢng hàng loạt khi thực hiện nhiều lần
cùng một phép thử, ta thây tần suất xuất hiện một sự kiện A
nào đó chênh lệch không nhiều so vói một sô' đặc trưng cho
khả năng xuất hiện A. Số đó đưỢc gọi là xác suất xuất hiện A
và được ký hiệu là P(A). Như vậy nếu viết P(A) - p c6 nghĩa là
xác suâ^t xảy ra sự kiệnA là bằngp.
Một câu hỏi tự nhiên là. Do đâu có sự kiện ngẫu nhiên? Và
chúng ta có thể nhận biêt đưỢc chúng không? Thực ra mỗi sự
kiện đều xảy ra theo quv luật nào đó; song do điều kiện Lhiêu
tri thức, thông tin và phương tiện cần thiết (cả về kinh phí,
thiết bị lẫn thòi gian) nên ta không có khả năng nhận thức dầy
dủ về sự kiện đó. Vấn đề càng trỏ nên khó khàn hơn khi chỉ
cần có một sự thay dổi bâ"t ngò dù rất nhỏ của bộ điều kiện dã
làm thay đổi kết cục của phép thử. Cho nên bài toán xác định
bản chất xác suâ^t của một sự kiện bất kỳ trong một phép thử
tùy ý là không thể giải đưỢc.
1.2. Phép toán và quan hệ của các sự kiện

Về mặt toán học, việc nghiên cứu quan hệ và phép toán
trên tập các sự kiện cho phép ta xác định chúng thực chất hơn.
(i) Tổng của A và B, ký hiệu là A + 5 , chỉ sự kiện khi có
xuất hiện ít nhất một trong hai sự kiện trên.
(ii) Tích của A và B, ký hiệu là AB, chỉ sự kiện khi có xuâ"t
hiện đồng thồi cả hai sự kiện trên.
6

(iii) Đối lập của A, ký hiệu là A, chỉ sự kiện không xuất
hiện A. Rõ ràng đối lập có tính tương hỗ A = A và A + A = u,
A Ã = V, ữ = y .
(iv) Xung khắc: hai sự kiện A vầ B được gọi là xung khắc
nếu chúng không thể đồng thời xảy ra, tức là AB = V.
(v) Kéo theo, ký hiệu A => B, chỉ nếu xuất hiện A thì xuất
hiện B.
(vi) Tương đương, ký hiệu A = B, chỉ việc nếu xuất hiện A thì
xuất hiện B và ngưỢc lại.
(vii) Hiệu của A và B, ký hiệu A - B (hoặc A\B), chỉ sự kiện
xuất hiện A nhưng không xuất hiện B, tức là A - jB = AB.
Các khái niệm cho thấy tính đối lập, tổng, tích và hiệu của
hai kiện tương ứng vối bù, hợp, giao và hiệu của hai tập hỢp.
Như vậy có thể sử dụng các tính chất của các phép toán trên tập
hỢp cho các phép toán trên sự kiện, chẳng hạn dùng sơ đồ Ven
trong thí dụ sau đây.
Thí dụ 1.2. Ký hiệu u là tập vũ trụ, V là tập 0 (rỗng). Khi
đó A và sẽ là các tập con của u và các phép toán trên A v à B
có thể minh họa bằng sơ đồ Ven (xem hình 1 . 1 ).

Tập vũ trụ

Kéo theo A => B

Đối lập A

Tống A + B
Hình 1.1

khắc (ẬB = 0 )

Tích AB

Từ đó, dễ dàng chỉ ra các công thức sau;
A + B = B + A, AB = BA (giao hoán);
A + (B + Q = {A + B) + C, A(BC) = (AB)C (kết hỢp);
A(B + o = AB + AC (phân phối);
A + Ư =U ,A + V = A ,A + A = A ;
AU = A ,A V = V ,A A = A .
Thí dụ 1.3. Chọn từ một lô hàng ra 5 sản phẩm và ta quan
tâm đến sô"phế phẩm trong 5 sản phẩm đó (phép thử).
a) Xác định các sự kiện sơ cấp.
b) Biểu diễn các sự kiện sau theo các sự kiện sơ cấp: có
nhiều nhất 1 phế phẩm; có không quá 4 phế phẩm, có ít
nhất 1 phế phẩm.
Giải, a) Ký hiệu Aị - trong 5 sản phẩm có ỉ phế phẩm. Rõ
ràn g i = 0,5 và Q = {Ao, A „ A 2, A 3, A

b)

ị,

A 5I.

Gọi A, B và c là các sự kiện tương ứng. Dễ dàng biểu

diễn A = Aq + Aị, B —Aq + A| + A 2 + Ag + Aị = A -, c = Aj + Av +
A 3 + A 4 + A 5 - Aq.
Thí dụ 1.4. Cho sơ đồ mạng điện trên hình 1.2 gồm 3 bóng
đèn. Việc mạng mất điện (sự kiện A) chỉ có thể xảy ra do cháy
các bóng đèn Ọíý hiệu là Aj, A 2, A 3). Hãy biểu diễn A theo các
ỉ = 1, 2, 3).
Giải. A xuất hiện khi xảy
ra một trong 3 trường hỢp:

___^

(i) cả ba bóng cháy,
(ii) cháy hai bóng 1 và 2 ,
(iii) cháy hai bóng 1 và 3.

Hình 1.2

Từ đó ta có A = A 1A 2A 3 + AịA^A.j + A, A,Ạ,.
8

Có thể dùng tính chất của mạng song song và nốì tiếp để có
một biểu diễn khác gọn hơn:
A =A ,(A 2 + A 3).
Trong nhiều bài tập, việc xác định sô" lượng các sự kiện sơ
cấp đưa đến sử dụng các kết quả của lý thuyết tổ hỢp.
1.3. Giải tích kết hợp

Việc đếm sô" các kết cục của một phép thử dựa vào mô
hinh: chọn hú họa ra k phần tử từ n phần tử cho trưốc. Nếu
phân biệt thứ tự các phần tử chọn ra, ta có khái niệm chỉnh
hỢp; nếu thứ tự không phân biệt, ta có tổ hợp.
(i) Chinh hỢp: chỉnh hỢp chập k từ n ỉ à một nhóm có thứ tự
gồm k phần tử lấy từ n đã cho. Đó chính là một nhóm gồm k
phần tử khác nhau được xếp theo thứ tự nhất định. Sô" các
chỉnh hỢp như vậy, ký hiệu là (k < TÌ).
= n{n - l)...(n

- Ã+ 1 ) = ^
{n-k)\

(1 .1 )

(ii) Chỉnh hỢp lặp: chỉnh hợp lặp chập Ấỉ từ n là một nhóm
có thứ tự gồm k phần tử có thể giống nhau lấy từ n đã cho. Đó
chính là một nhóm gồpn k phần tử có thể lặp lại và được xếp
theo thứ tự nhất định, s ố các chỉnh hỢp lặp như vậy, ký hiệu lặ
Ă Ì = n ' '.

( 1 .2)

(iii) Hoán vị: hoán vị của n là một nhóm gồm n phần tử
đưỢc sắp xếp theo một 'thứ tự nào đó. Rõ ràng số các hoán vị
như vậy, ký hiệu là p„, chính là số các chỉnh hỢp A" và
p„ = n\

.(1.3)

(iv' Tổ hỢp: tổ hỢp chập ^ từ n là một nhóm (không phân
biệt i;!ứ tự) gồm k phần tử khác nhau lấy từn đãcho.Số các
tổ' hỢp r.hu vậy, ký hiệu là (k < n)
9

"

k\

=

k\{n-k)\

^

(1.4)

Thí dụ 1.5. Cho một tập hỢp gồm 3 phần tử {a, 6 , c}. Có thế
tạo ra bao nhiêu nhóm gồm 2 phần tử chọn từ tập trên?
Giải:
(i) Nếu ta để ý đến thứ tự các phần tử và mỗi phần tử chỉ
đưỢc chọn một lần, sô" nhóm thu được sẽ là
= 3.2 = 6; đó là
{a, 6}; {6, a}; {a, c}; {c, a}; {b, c}, {c, b}.
(ii) Nếu vẫn để ý đến thứ tự, nhưng mỗi phần tử được chọn
nhiều lần, số nhóm thu được trở thành Ag = 3^ = 9; đó là:
{a, 6}; ịb, a}; {a, c}; {c, a}; {ồ, c), {c, 6}; {a, a)\ {b, 6}; ịc, e}.
(iii) Nếu không để ý đến thứ tự các phần tử và chúng chỉ
được chọn một lần, sô" nhóm thu đưỢc trở thành c | = 3; đó là
{a, 6}; {a, c}; {ồ, c}.
Thí dụ 1.6. Một lổp phải học 6 môn trong học kỳ, mỗi ngày
học 3 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thòi khóa biểu trong
1 ngày?
Giải. Sô" cách xếp cần tìm chính là sô" cách ghép 3 môn từ 6
món, trong đó các cách ghép sẽ khác nhau nếu có ít nhất một
môn khác nhau hoặc thứ tự môn khác nhau. Từ đó theo ( 1 . 1 )
ta có số cách cần tìm là Aị = 6.5.4 = 120.
Thí dụ 1.7. Có thể đánh số được bao nhiêu xe nếu chỉ dùng 3
con sô"từ 1 đến 5?
Giải. Mỗi sô"thứ tự của một xe dễ thấy là chỉnh hỢp lặp chập
3 từ 5. Từ đó theo (1.2) ta có sốlượng xe được đánh số sẽ là
Ă \ = 5^ = 125.
Thí dụ 1.8. Có bao nhiêu cách lập một hội đồng gồm 3 người
chọn trong số 8 ngưòi?
10

Giải. Hội đồng là một nhóm 3 người lấy từ 8 người, do đó
theo (1.4) sẽ có Cg = 8!/(3!5!) = 56 cách lập.
Cuối cùng, để ý là ta đã rất quen thuộc với khái niệm tổ hỢp
được dùng trong công thức nhị thức Niu-tơn

(x
+ C>"^'a
+... +
^ + aỴ
' = c°x''
n
n

n

+... + C"a\
n

Từ đó có thể dễ dàng chứng minh (để ý c° =
c 'n

n

^ c*n

= 1)

=C n.-l,
^í +c*n -1

§2. CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA XÁC SUẤT
2.1. Định nghĩa cổ điển

Trong mục này ta làm việc với các phép thử có kết cục
đồng khả năng. Khái niệm đồng khả năng đóng vai trò chủ
đạo và khó có thể định nghĩa một cách hình thức. Xét thí dụ
đơn giản sau đây:
Thí dụ 2.1. Trong một hộp có n viên bi giông nhau về kích
cỡ và chỉ khác nhau về màu sắc, trong đó có m bi trắng vầ n m bi đỏ. Rút hú họa ra một viên bi (phép thử). Do sô" viên bi là
n nên tổng số các kết cục khác nhau sẽ là n, và vì tính giông
nhau của chúng nên mỗi viên bi có cùng khả năng đưỢc rút.
Bây giò nếu gọi A là sự kiện rút được bi trắng thì trong sô" n
kết cục đồng khả năng có m kết cục thuận lợi cho A. Vì vậy
trực giác cho thấy nên chọn tỷ sô" mln làm xác suất của việc
xuâ't hiện A.
Đ inh n ghĩa. Cho một phép thử với n kết cục đồng khả
năng, trong đó có m kết cục thuận lợi cho A, khi đó
, X m số kết cuc thuân lơi cho A
P{A) = — = ....- , ■,—
—.
n
tống sô kết cục có thê

/o 1 \
(2.1)

11

Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác
suất. Cách tính xác suất theo (2 . 1 ) có ưu điểm là tương đối đơn
giản và trực quan, tuy nhiên phạm vi áp dụng rất hạn chê chỉ
cho các loại phép thử gồm hữu hạn kết cục đồng khả năng.
Trong tính toán thường sử dụng các kết quả (1.1) - (1.4).
Thí dụ 2.2. Gieo đồng thòi 2 con xúc sắc giống nhau. Tính
xác suất để tổng sô' chấm thu được bằng 6.
Giải. Phép thử có 6.6 = 36 kết cục (sự kiện sơ cấp) khác
nhau đồng khả năng. Gọi A là sự kiện “tổng sô" chấm bằng 6”,
thì có tất cả 5 kết cục thuận lợi cho A là {1,5}, {2,4}, {3,3}, {4,2}
và {5,1} (số thứ nhất chỉ sô" chấm của con xúc sắc 1 , sô" thứ 2 số chấm của con xúc sắc 2). Vậy P(A) = 5/36.
Thí dụ 2.3. Trong hộp có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đỏ cùng
kích cõ. Rút hú họa ra 2 bi, tính các xác suất để trong đó có:
a) hai viên trắng;
b) ít nhất 1 viên đỏ;
c) viên thứ hai đỏ.
Giải. Ta dùng định nghĩa cổ điển ở trên.
a) Tổng số cách để rút ra 2 bi có quan tâm đến thứ tự là
Afo = 10.9 = 90, trong đó số cách thuận lợi cho A - rút được 2
bi trắng - là Al = 4.3 = 12; vậy xác suất cần tìm P(A) = 12/90
= 2/15. Có thể sử dụng khái niệm tổ hỢp để tính xác suất: tổng
sô" cách lấy ra 2 bi từ 10 viên bi là cf(j (không quan tâm đến
thứ tự), trong đó để rút ra 2 bi trắng có C4 cách. Từ đó ta có
cùng kết quả như trên.
b) Có thể tính trực tiếp xác suất của B - sự kiện rút
được ít nhất 1 bi đỏ (tức là hoặc được 1 hoặc cả 2 bi đỏ). Dễ
thấy sự kiện đối lập B - cả 2 bi đều trắng - đã có xác suất
hiện bằng 2/15. Từ đó P(B) = 1 - P(B) = 13/15 (xem tính
chất của xác suất ngay dưới đây).
12

c)
Gọi c là sự kiện viên bi thứ hai màu dỏ. số cách
thuận lợi cho c bao gồm (có quan tâm đến thứ tự): 6.5 = 30
cách đối với trường hỢp viên bi đầu màu đỏ và 4.6 = 24 cách
đòì với trưòng hỢp bi đầu màu trắng. Từ đó P(C) = (30 +
24)/90 = 3/5. Có thể lý luận đơn giản hơn như sau: do viên bi
đầu không biết màu sắc nên thông tin về tỷ lệ màu không
thay đổi vói viên bi thứ hai. Vậy sự kiện c sẽ có cùng xác
suất với việc rút hú họa ra 1 bi đỏ từ hộp 10 viên ban đầu và
xác suất của sự kiện đó rất dễ tính là 6/10 = 3/5.
Dùng công thức (2.1) dễ dàng chứng minh các tính chất
sau đây của xác suất (đúng cho cả các trường hỢp định
nghĩa khác):
(i) 1 > P(A) > 0;
(li) P (ơ ) = 1 ; P(V) = 0;
(iii) Nếu A, B xung khắc thì P(A + B) = P(A) + P{B)-,
(iv) P(Ã) = 1 -P (A );
(v) Nếu A

B thì P{A) < P{B).

Đe khắc phục hạn chế của (2.1) chỉ áp dụng cho các phép
thử có hữu hạn kết cục, người ta đưa ra định nghĩa hình học
cúa xác suất. Gải sử tập hợp (vô hạn) các kết cục đồng khả
năng của một phép thử có thể biểu thị bởi một miền hình
học G (chẳng hạn đoạn thẳng, một miền mặt cong hoặc khôi
không gian...), còn tập các kết cục thuận lợi cho A bởi một
miền con nào đó s c G. Sẽ rất hỢp lý nếu ta định nghĩa xác
suất bằng tỷ số độ đo của s vối G (phụ thuộc vào s và G mà
độ đo có thể là độ dài, diện tích hoặc thể tích...). Như vậy ta
có P(A) bằng xác suất để điểm'gieo rơi vào s , vối giả th iết nó
có thể rơi đồng khả năng vào các điểm của G và
đậđo^
độđoG

(2 .2 )

13

Khái niệm “rơi đồng khả năng vào G” có nghía là điểm gieo có
thể rơi vào bất kỳ điểm nào của G và xác suất để nó rơi vào
một miền con nào đó của G tỷ lệ vói độ đo của miền ấy, mà
không phụ thuộc vào vị trí và hình dạng của miền.
Thí dụ 2.4. Đưòng dây điện thoại ngầm nôl một tổng đài
với một trạm dài Ikm. Tính xác suất để dây đứt tại nơi cách
tổng đài không quá lOOm.
Giải. Rõ ràng nếu dây điện thoại đồng chất, khả năng nó
bị đứt tại một điểm bất kỳ là như nhau, nên tập hỢp các kết
cục đồng khả năng có thể biểu thị bằng đoạn thẳng nối tổng
đài với trạm. Các kết cục thuận lợi cho A - sự kiện chỗ đứt
cách tổng đài không quá lOOm - được biểu thị bằng đoạn
thẳng có độ dài lOOm. Từ đó theo (2.2) P(A) = 100/1000 = 0,1.
Một số bài toán thực tế khác có thể đưa về mô hình dạng
trên. Chú ý rằng theo cách định nghĩa này thì sự kiện có xác
suất bằng 0 vẫn có thể xảy ra (chảng hạn mũi tên bắn trúng
một điểm cho trưóc...)- Tính chất này rất đặc trưng cho các
biến ngẫu nhiên liên tục sẽ nghiên cứu ở chương II.
2.2. Định nghĩa thống kê

Điều kiện đồng khả năng của các kết cục một phép thử
không phải lúc nào cũng được bảo đảm. Có nhiều hiện tượng
xảy ra không theo các yêu cầu của định nghĩa cổ điển, chẩng
hạn khi tính xác suất một đứa trẻ sắp sinh là con trai, ngày
mai tròi mưa vào lúc chính ngọ, v.v...
Có một cách khác để xác định xác suất của một sự kiện. Giả
sử tiến hành một loạt «1 phép thử cùng loại, nếu sự kiện A nào
đó xuất hiện trong mj phép thử thì ta gọi mj/rỉ, là tần suất xuất
hiện A trong loạt phép thử đã cho. Tương tự với loại phép thử
thứ hai, thứ ba... ta có các tần suất tương ứng m j n 2, rnJn:Ị,...
14

Trên cơ sở quan sát lâu dài các thí nghiệm khác nhau ngưòi ta
nhận thấy tần suất xuât hiện một sự kiện có tính ổn định,
thay đổi rất ít trong các loạt phép thử khác nhau và dao động
xung quanh một hằng sô" xác định. Sự khác biệt đó càng ít khi
sô' phép thử tăng nhiều lên. Hơn nữa đối với các phép thử xét ở
mục 2.1 hằng sô" xác định đó trùng vối xác suất theo định
nghĩa cổ điển. Đặc tính ổn định của tần suất khi sô”phép thử
tăng lên khá lớn cho phép ta định nghía xác suất của sự kiện
là trị sô" ổn định đó của tần suất xuâ^t hiện sự kiện. Nhưng do
hằng sô^ đó chưa biết, nên người ta lấy ngay tần suất khi sô"
phép thử đủ lớn làm xác suất của sự kiện. Cách hiểu như vậy
đưỢc gọi là định nghĩa thống kê của xác suất.
Như vậy xác suất ở đây là mộr giá trị gần đúng và nhiều
ngưòi cho rằng đó không phải là một định nghĩa thật sự. Tuy
nhiên, trong nhiều ngành khoa học thực nghiệm xác suất đưỢc
xác định theo cách này đạt độ chính xác khá lớn và rất phù
hỢp với thực tế cũng như với tính toán lý thuyết, nhiều khi sai
sô'phạm phải bé hơn nhiều so với sai sồ^ đo của thí nghiệm. Vì
thế định nghĩa thông kê vẫn được thừa nhận rộng rãi và rất có
ý nghla. Ta có thể định nghía chặt c}'iẽ hơn về mặt toán học như
sau: xác suâ^t của sự kiện là giới hạn của tần suất xuất hiện sự
kiện đó khi số^ phép thử tăng vô hạn. Sự hỢp lý của định nghĩa
đvíỢc minh chứng không chỉ bằng thực nghiệm mà cả bằng lý
thuyết (sau này ta sẽ thấy rõ trong luật sô lốn Béc-nu-li).
Có nhiều thí dụ minh họa tính ổn định của tần suất khi sô"
phép thử khá lớn. Ta có thể tham khảo dưới đây các tần suất
xuất hiện mặt sâp khi gieo một đồng tiền nhiều lần:
Người thí n g h i ệ m
Buýt-phông
Piếc-xơn
Piếc-xơn

S ố l ầ n gieo
4040
12000
24000

s ố lần sấp
2048
6019
12012

Tần s u ấ t
0,5080
0,5016
0,5005
15

Một thí dụ khác: có thể cho rằng xác suất phân rã của một
nguyên tử Ra"^® sau 100 năm là 0,04184 (với độ chính xác tôi 5
chữ số sau dấu phảy); ở đây số lượng nguyên tử tham gia thí
nghiệm rất lớn (cỡ 10 ^®- 10 ^'*).
Có thể kiểm tra được rằng xác suất định nghĩa theo thống
kê thỏa mãn các tính chất trình hày ở mục trước. Chú ý ỉà
trong định nghĩa phải có điều kiện các phép thử lặp ỉại nhu
nhau, điều này trên thực tế không dễ bảo đảm nên tần suất có
thể phụ thuộc vào thời gian. Mặc dù vậy phương pháp xác
định xác suất theo tần suất có phạm vi ứng dụng rất lớn trong
nhiều ngành khoa học và kỹ thuật. Mặt khác, điểm xuất phát
để xây dựng lý thuyết xác suất như là một khoa học cũng
chính là việc quan sát tính ổn định thông kê của các tẩn suất
của vô vàn các hiện tượng thực tế. Từ đó dễ hiểu vì sao có thể
định nghĩa lỵ thuyết xác suất như là một khoa học nghiên cứu
các mô hình toán học của các hiện tưđng ngẫu nhiên có tầii
suất ổn định.
2.3. Định nghĩa tiên để

Các định nghĩa cổ điển và thống kê của xác suất có nhiều
hạn chế để xây dựng một lý thuyết tổng quát. Khái niệm cổ
điển không dùng được trong trường hỢp không thể xây dựng
một hệ thống đầy đủ các sự kiện đồng khả năng. Trong khi đó,
tần suất chỉ là một giá trị xấp xỉ để đánh giá xác suất, chưa kể
đòi hỏi là sô" quan sát phải rất lớn và giá trị tần suất tìm được
phải lốn hơn nhiều sai sô" đo và cả sai số tính toán.
Chúng ta bắt đầu từ hệ thống các tiên đề dưới dạng do
Kôn-mô-gô-rôp phát biểu. Các tiên đề đó (giông như các tiên đề
toán học khác) đưỢc thừa nhận là đúng đắn, tất nhiên căn cứ
vào kinh nghiệm cuộc sôVig và hoạt động thực tiễn. Cách tiếp
cận này liên hệ chặt chẽ lý thuyết xác suất với lý thuyết hàrn
sô' và tập hỢp. Cách xác định xác suất theo tiên đề sẽ chứa
16

trong nó các định nghĩa cổ điển và thống kê của xác suất như
là các trường hỢp riêng.
Ta quay trở lại không gian các sự kiện sđ cấp Q (xem § 1 ),
còn bản thân các phần tử là gì không quan trọng. Tiếp theo
xác định hệ thống (Ả các tập hỢp con của Q, các phần tử của dl
được gọi là các sự kiện ngẫu nhiên. Ta đặt cho cA các yêu cầu
hợp lý sau:
(i)

chứa

(ii) Nếu A v àiB & CẢ thì A , B , A + B, AB e

C Á .

Hệ thống cị thỏa măn các điều kiện trên được gọi là đại s ố
Bun. Nếu ta yêu cầu thêm
(iii) Nếu
A 2:
A„. ... là các phần tử của cA, thì tổng và
tích vô hạn Aj + A 2 + ... +
+ .... AiA, ... A„... cũng.thuộc CÃ.
Nếu
thỏa mãn thêm điều kiện (iii) ta có một trường Bô-ren,
hay ơ - đại sô'.
Bây giò ta đã có thể định nghĩa xác suất:
Đ ịnh n gh ĩa. Ta gọi xác suất trên (Q, c//) là một hàm số
xác định trên íA có giá trị trong [0; 1] và thỏa mãn 3 tiên đề
(T,)P(fi) = l;
(T2) P(A + B) = P{A) + P{B) (A, B xung khắc);
(T;j) Nếu dãy {A,,} có tính chất Aj => Aị, V ỉ <_/ và
A,A 2...A„... = V, thì P(A„)

>0.

Xuất phát từ hệ tiên để trên có thể chứng minh đưỢc các tính
chất của xác suất đã trình bày ở § 1 , hoặc chính chúng đã là các
tính chất đó (tiên đề 1 và 2). Chú ý rằng hệ tiên đề này chưa
đầy đủ: ứng vối một tập Q có thể chọn xác suất theo nhiều
cách khác nhau. Người ta có thể thay tiên đề 2 và 3 bằng một
tiên đề có tên là tiên đề cộng mở rộng:

17

(TJ Nếu dãy {AJ có tính chất xung khắc từng đôi và
A =^
rt=i

G

thì

P(A) = P(A,) + P(A,) + ... P(A„) + ... = ỵ P ( A J .
n=ì

Để kết luận, có thể nói rằng cách định nghĩa xác suất ở
đây nhìn từ quan điểm của lý thuyết tập hỢp chính là sự đưa
vào cùng với Q một độ đo không âm, trực chuẩn, cộng tính, xác
định cho mọi phần tử của tập <Ẩ. Như vậy khi định nghĩa xác
suất chúng ta phải có không chỉ tập Q các sự kiện sơ cấp ban
đầu, mà còn phải có tập các sự kiện ngẫu nhiên CẨvà hàm sô"p
xác định trên đó. Tổ hợp {Q, c4 , P} sau này thường được gọi là
không gian xác suất.

§3. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
3.1. Khái niệm
•

Thực ra mọi xác suất P(A) đều là có điều kiện, vì sự kiện A
xảy ra khi thực hiện một bộ điều kiện xác định. Tuy nhiên,
nếu ngoài bộ điều kiện đó ra còn có thêm điều kiện khác thể
hiện bằng việc xuất hiện B nào đó, thì người ta đưa ra một
khái niệm mới: xác suất có điều kiện của A biết rằng đã xảy ra
B, ký hiệu là P(Ạ B). Bằng trực giác ta cũng thấy rằng khi có
B với P(B) > 0 thì nói chung “khả năng” xuất hiện A cũng thay
đổi; đặc biệt nếu AB = V khả năng đó triệt tiêu, còn nếu B ^ A
thì khả năng trở thành tất yếu. Vậy là, vối điều kiện đã có B,
người ta xác định một cách tự nhiên khả năng xuất hiện A nào
đó bằng một số tỷ lệ vối P(AB), tức là số có dạng kP(AB), k > 0.
Để xác định hằng số k đó, do P{A IB) = kP(AB) là một xác suất
và ta chọn A = B, P(B I fi) = 1 , nên kP{B) = 1 . Từ đó
18

k=

P{B)

Đ ịn h n gh ĩa 1. Giả sử trong một phép thử ta có P(B) > 0.
Khi đó xác suất có điều kiện của sự kiện A nào đó, biết rằng đã
có B, sẽ là một số không âm, ký hiệu là:
P{A B) =

P{AB)
P(B)

(3.1)

Để ý rằng nói chung P(A) ^ P(A B). Ngoài ra xác suất có
điều kiện có mọi tính chất của một xác suất bình thường.
Thí dụ 3.1. Gieo 2 con xúc sắc giống nhau. Tính xác suất
để ta có tống số chấm thu đưỢc bằng 6, biết rằng tổng đó là
một sô"chẵn.
Giải. Ta đã biết P(A) - 5/36 (xem thí dụ 2.2, A là sự kiện
xuất hiện tông chấm bằng 6). Nếu ký hiệu B là sự kiện xuất
hiện tổng chấm chẵn, thì điều kiện để tính P{A Is) đã thay đổi,
tổng sô chẵn chỉ tương ứng với 18 kết cục của phép thử gieo 2
con xúc sác. Từ đó P(A IB) = 5/18.
Thí dụ 3.2. Rút từ bộ bài tú lơ khơ 52 con lần lượt ra 2 con
bài. Tìm xác suất để con thứ hai là át, biết rằng con thứ nhất
đã là át.
Giải. Dễ thấy nếu ký hiệu Ai là sự kiện con thứ i là át
1

, tương đương với việc do đã có
51 17
A|, việc tính xác suất sự kiện
đưa về tính trong trường hỢp
chỉ còn 51 con bài với 3 con át trong đó.
Đ ịn h n g h ĩa 2. Ta nói rằng A và B độc lập (thống kê), nếu
(i = 1,2), thì P(A, A,) =

P(A 1B) = P(A) hoặc P(B \A) = P(B).

(3.2)

Như vậy nếu A, B độc lập việc xuất hiện sự kiện này không
làm thay đổi xác suấ"! của sự kiện kia. Tuy nhiên việc kiểm tra
tính chất (3.2) trong thực tiễn râ't khó khăn và trong nhiều
19

trường hỢp là không thể. Vì vậy dựa vào thực tê và trực giác
mà ta thừa nhận các sự kiện độc lập trong các bài tập sau này.
Công thức tương đương của (3.2), có để ý đến (3.1) là:
P(AB) = P{A)P{B).
Đ in h n g h ĩa 3. Ta nói bộ sự kiện Ai, Ag,
độc lập trong tổng thể) nếu
P( a X . . . A,^) = P(A,;)P(A. )... P ( \ )

(3.3)
độc lập (hay
(3.4)

vói mọi dãy (ỉi,
ik) gồm các số nguyên khác nhau lấy từ {1 , 2 ,
n}.
Thí dụ 3.3. Gieo hai lần một đồng tiền, và ta có 4 kết cục
đồng khả năng iS - ký hiệu mặt sấp, N - mặt ngửa)
fì = {SS, SN, NS, NN].
Rõ ràng các sự kiện A = SS + S N , B = s s + NS, c = s s + N N
là độc lập từng đôi do P{A) = P(B) = P ( 0 - —; còn P{AB)
2
P(AC) = P{BƠ) ~ — thỏa mãn (3.3). Tuy nhiên chúng không
4
độc lập trong tổng thể do
P{ABC) = - ^ P{A)P(B)P(C) =
4
8
Như vậy không nên nhầm lẫn hai khái niệm độc lập trong các
định nghĩa 2 và 3. Khái niệm độc lập trong tổng thể kéo theo
độc lập từng đôi (do (3.3) là trường hỢp riêng của (3.4) khi
k - 2), nhưng ngưỢc lại nói chung không đúng.
3.2. Công thức cộng và nhân xác suất

l. Công thức nhân xác suất
P(AB) = P(A)P(B IA) = P(B)P(A IB).

{8.5)

Đó là hệ quả trực tiếp suy ra từ (3.1). Từ (3.5) có thể dẫn ra
các kết quả quan trọng:

20

(i) Nếu A, B độc lập thì P(AB) = P{A)P{B) (xem 3.3)).
(ii) Mở rộng cho tích n sự kiện
P{AA,...A„) =
= P{A,)P{A, IA,)P(A., IA,A,)..,P(A„

I

(3.6)

(iii) Nếu A,A;,, ... A„ độc lập trong tổng thể, thì:
p

A:
\

1= 1

/^1

P(A).

2. Cồng thức cộng xác suất
P(A ^B) = P(A) -f P{B) - P(AB).

(3.7)

Việc chứng minh công thức trên không có gì quá phức tạp
(nhất là từ các tiên để của mục 2.3). Từ (3.7) có thể dẫĩl ra các
kết quả sau:
(i) Nêu A, B xung khác, thì P(A + B) = P(A) + P(B),
(ii) Mở rộng cho tổng n sự kiện
p

+ ( - i r ' 'P(A,A,...A„).
(iii) Nếu Aj, A 2,

(3.8)

xung khắc từng đôi

p
Các công thức (3.5) - (3.8) cho ta các công cụ hiệu quả để
tính xác suất các sự kiện phức tạp qua xác suất các sự kiện đơn
giản hơn.
Thí dụ 3.4, Hai cọc bài được lấy từ một bộ bài tú lơ khơ, cọc
thứ nhất gồm 4 con át, cọc thứ hai gồm 4 con ka. Rút ngẫu
nhiên từ mỗi cọc bài ra một con bài, tính các xác suất đế
21

a) cả 2 con là con cơ,
b) có ít nhất 1 con cơ.
Cũng câu hỏi như vậy nhưng thay điều kiện đầu bài: trộn
cọc bài và rút hú họa từ đó ra 2 con bài.
Giải. Gọi A - con bài thứ nhất là cơ, B —con bài thứ hai là
cơ. Để ý rằng thuật ngữ “thứ nhất”... chỉ để phân biệt hai con
bài chứ không để chỉ thứ tự nào cả. Trong trường hợp hai cọc
bài riêng rẽ, dễ thấy A và B độc lập. Từ đó
a) Xác suất cần tìm là P(AB), để ý đến (3.3) ta có:

P( AB) ^P( A) P( B) = ị . ị = ~ .
4 4 16
b) Sự kiện ta quan tâm là A + 5 , theo (3.7):
P(A + B ) - P ( A ) + P (B )-P (A fi) = i + ỉ - ^ = ^ .
4 4 16 16
Trường hỢp trộn lẫn hai cọc bài thành một thì A, B không
còn độc lập nữa. Tuy nhiên các xác suất P(A) và P(B) đều bằng
2/8 = 1/4 do vai trò hai quân bài như nhau. Từ đó;
a) Dùng công thức (3.5):

P(AB) = P(A)P(B IA) = Ị . ị = ^
4 7 28
b) Một lần nữa theo (3.7):
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = i + ỉ - —
4 4 28
Thí dụ 3.5. Ba xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn
suất bắn trúng của từng ngưòi tương ứng là 0,7; 0,8
Tính các xác suất:
a) có hai ngưòi bắn trúng,
b) có ít nhất một người bắn trượt.
Giải. Gọi A, là sự kiện xạ thủ thứ i bắn trúng (i =
và P(A,) = o'7; PCA^) = 0,8; P(A,) = 0,9.
22

=— .
28
với xác
và 0,9.

1 , 2 , 3)

a) Nếu gọi A là sự kiện có đúng 2 người bắn trúng thì:
A = A,

A, + Aj A2A3 + A 1A2A 3.

Dùng tính xung khắc của các sô' hạng và tính độc lập của các
Aị và A, (75^ ỉ), ta có:
P(A) = P(A ,A,A,) + P{A, A, A ) + P( A
3

)

= P(A )P(A ,)P(Ã ^) + P(A,)P(Ã;)P(A 3) + P (Ã )P (A ,)(/43)
= 0,7.0,8.(1 - 0,9) + 0,7.(1 - 0,8).0,9 + (1 - 0,7).0,8.0,9
= 0,398.
b)
Nếu gọi B là sự kiện có ít nhất một người bắn trượt, thì
B là sự kiện không có ai bắn trượt hay cả ba đều bắn trúng.
Rõ ràng việc tính P{B) dễ dàng hơn nhiều so vối tính P{B)
theo cách trực tiếp, từ đó
P{B) = l - P { B ) = \ - P { A , A ^ , )
= 1 - 0,7.0,8.0,9 = 0,496.
Thí dụ 3.6. Cho một mạch điện gồm 4 linh kiện như hình
1.3, trong đó xác suất hỏng của từng linh kiện trong một
khoảng thời gian nào đó tương ứng là 0,2; 0,1; 0,05 và 0,02.
Tìm xác suất để mạng hoạt động tốt trong khoảng thòi gian
đó, với giả thiết là các linh kiện làm việc độc lập với nhau và
các dây luôn tô"t.
Giải. Gọi Ai là sự kiện linh
kiện thứ ỉ làm việc tốt (ỉ = 1,4).
Sử dụng cá( tính chất của mạng
song song và nổl tiếp, gọi A là sự
kiện mạng hoạt động tốt, khi đó
Hinh 1.3
A =Ai(Ã 2 +Ắ3)A4.
Để ý rằng từ giả thiết đầu bài ta luôn có Ai, A 4 và A 2 + A 3 độc
lập, nên:
(3.9)
PiA).= P (A ,) P iA , + Ạ ,)P { A ,) .
23

Ta cần tính P { \ + Ag), và do

A;j không xung khắc, nên

P( A, + A ) = P( A ,) + P( A ) - P( A, A ).
3

3

3

Thay vào (3.9), để ý rằng P{A.ịA^ = P{A2)P{Aị) và giả thiết của
đầu bài
P(A) = P{A,)[P{A.^ + P{A,) - P(A,)P(A 3)]P(A,)
= 0,8.(0,9 + 0,95 - 0,9.0,95).0,98
= 0,78008.
Chú ý rằng nếu ta khai triển A =

sau đó

dùng các công thức (3.6) - (3.7) để tính P{A) thì sẽ phức tạp
hơn một chút, bạn đọc hãy tự giải theo cách này.
Thí dụ 3.7. Một gia đình có 6 coh. Tìm xác suất đế gia đình
đó có số con trai nhiều hơn sô" con gái.
Giải. Ta chấp nhận xác suất sinh con trai bằng xác suất
sinh con gái và bằng 0,5, ngoài ra kết quả mỗi lần sinh được
coi là độc lập với nhau. Gọi A là sự kiện sô" con trai nhiều hơn
con gái, khi đó việc tính trực tiếp P(A) đưa về xác định các
trường hỢp; hoặc 6 trai, hoặc 5 trai 1 gái, ho...