GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 10,11,12 VÀ LTĐH
SĐT: 0909 461 641

TOÁN 12
TOÁN
(THEO SÁCH CTST)

TẬP 1
π

Toám tùæt lñ thuyïët A

π

π

π

Vñ duå minh hoaå B
y

Baâiπtêåπp vêån duångπ C

π

π

y0

π

ππ

y = f (x)

π

H

y = y0

M
x

O

π

π

π

π

Baâi têåp reân luyïånπ D
π
π

A'

π

B'

C'

D'

π

π

π

π
π

B

A

π

π

π

D

π

NĂM HỌC: 2024 - 2025

C

i

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách CTST

MỤC LỤC

MỤC LỤC

Chương 1. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP
NHÓM
1
Bài 1.

KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
1

A Trọng tâm kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Khoảng biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Khoảng tứ phân vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Dạng 1. Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

......................................................

2

1. Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dạng 2. Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

.....................................................

5

1. Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

i/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

1

Chương 1. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách CTST

Chûúng

1

CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN
CÁC SỐ ĐẶCCHO
TRƯNG
PHÂN
TÁN
MẪUĐO
SỐMỨC
LIỆUĐỘ
GHÉP
NHÓM
CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
1

Baâi

KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ
KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
1

Khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và
đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.
○ Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở bảng sau

Nhóm
Tần số

Bảng 1
[u1 ; u2 ) [u2 ; u3 )
n1

n2

···

[uk ; uk+1 )

···

nk

Nếu n1 và nk+1 cùng khác 0 thì R = uk+1 − u1 .
○ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm luôn lớn hơn hoặc bằng khoảng biến thiên của mẫu số
liệu gốc
Ý nghĩa của khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm
○ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc
và có thể dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu.
○ Khoảng biến thiên R = uk+1 − u1 chưa phản ánh được đầy đủ mức độ phân tán của phần lớn các số
liệu. Hơn nữa, giá trị của R thường tăng vọt khi xuất hiện giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu.
Do đó, để phản ánh mức độ phân tán của số liệu, người ta còn dùng các số đặc trưng khác.

2

Khoảng tứ phân vị

Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là Qk , với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm (Bảng 1) được xác định như sau
kn
−C
Qk = um + 4
(um+1 − um )
nm
trong đó:
○ n = n1 + n2 + · · · + nk là cỡ mẫu.
○ [um ; um+1 ) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k.
○ nm là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k.
1/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

2

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách CTST

1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

○ C = n1 + n2 + · · · + nm−1 .
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cũng được xác định dựa trên tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị
thứ ba như đối với mẫu số liệu không ghép nhóm.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho ở Bảng 1, kí hiệu ∆Q , là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba Q3 và
tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là
∆Q = Q3 − Q1 .
Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
○ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu
gốc và có thể dùng để đo mức độ phân tán của nửa giữa của mẫu số liệu (tập hợp gồm 50% số liệu
nằm chính giữa mẫu số liệu).
○ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung
vị.
○ Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. Giá trị x trong mẫu số
liệu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q3 + 1,5∆Q hoặc x < Q1 − 1,5∆Q .
○ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lệ trong
mẫu số liệu.

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

1

Ví dụ minh hoạ

cVí dụ 1. Cô Hà thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một
lâm trường ở bảng sau.
Đường kính (cm)

[40; 45)

[45; 50)

[50; 55)

[55; 60)

[60; 65)

Tần số

5

20

18

7

3

Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là R = 65 − 40 = 25 (cm).

□

cVí dụ 2. Để chuẩn bị mở một trung tâm thể dục thể thao, anh Dũng đã tiến hành điều tra tuổi thọ của
máy chạy bộ do hai hãng X, Y sản xuất. Bảng sau biểu thị hai mẫu số liệu mà anh thu thập được qua Internet.
Tuổi thọ của máy chạy bộ (đơn vị: năm)
Tuổi thọ
[2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10)

[10; 12)

Số máy của hãng X

7

20

36

20

17

Số máy của hãng Y

0

20

35

35

10

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu nào lớn hơn? Từ đó có thể nói là máy chạy bộ do hãng nào sản xuất có
tuổi thọ phân tán hơn?

Lời giải.
2/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

3

Chương 1. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách CTST

Khoảng biến thiên của tuổi thọ máy chạy bộ do hãng X và hãng Y sản xuất tương ứng là
RX = 12 − 2 = 10 và RY = 12 − 4 = 8.
Vì RX > RY nên có thể nói là máy do hãng X sản xuất có tuổi thọ phân tán hơn so với máy của hãng Y .

□

cVí dụ 3. Thống kê thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 12A, được kết
quả như sau:
[0; 10)

[10; 30)

[30; 60)

[60; 90)

Số học sinh Tổ 1

2

4

3

1

Số học sinh Tổ 1

5

1

3

0

Thời gian sử dụng (phút)

Tìm khoảng biến thiên cho thời gian sử dụng mạng xã hội của học sinh mỗi tổ và giải thích ý nghĩa.

Lời giải.
Gọi R1 , R2 tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng mạng xã hội trong
ngày của các bạn Tổ 1 và Tổ 2. Ta có: R1 = 90 − 0 = 90 và R2 = 60 − 0 = 60. Do R1 > R2 nên ta có thể kết luận
rằng thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 phân tán hơn thời gian sử dụng mạng xã hội
của các bạn Tổ 2.
□
cVí dụ 4. Biểu đồ dưới đây thống kê thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày trong tháng 9/2022 của bác
Bình và bác An.
Số ngày
30

25

25

Bác Bình

20

Bác An
12

15
10

8
5

5

5

3

0
[15;20)

0
[20;25)

[25;30)

[30;35)

2

0
[35;40)

phút

Sử dụng dữ liệu ở biểu đồ trong bài toán trên, chọn số thích hợp thay vào các vị trí được đánh dấu ? ở bảng
sau
Thời gian (phút)

[15; 20)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

Bác Bình

?

12

8

3

2

Bác An

?

?

?

?

?

Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác
Bình và bác An.

Lời giải.
Ta có bảng sau
Thời gian (phút)

[15; 20)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

Bác Bình

5

12

8

3

2

Bác An

0

25

5

0

0

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác Bình là R = 40−15 = 25
(phút).
Tuy nhiên, trong mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An,khoảng đầu tiên chứa dữ
3/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

4

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách CTST

1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

liệu là [20; 25) và khoảng cuối cùng chứa dữ liệu là [25; 30). Do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm
về thời gian tập thể dục buổi sángcủa bác An là 30 − 20 = 10 (phút).
□
cVí dụ 5.
Biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao (đơn vị centimet) của 36 học sinh nam
lớp 12 ở một trường trung học phổ thông. Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu
ghép nhóm đó.

Nhóm

Tần số

[160; 163)

6

[163; 166)

11

[166; 169)

9

[169; 172)

7

[172; 175)

3
n = 36.

Lời giải.
Trong mẫu số liệu ghép nhóm đó, ta có đầu mút trái của nhóm 1 là a1 = 160, đầu mút phải của nhóm 5 là
a6 = 175.
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là R = a6 − a1 = 175 − 160 = 15 (cm).
□

Bài tập áp dụng

2

Bài 1. Bảng sau thống kê thành tích nhảy xa của một số học sinh lớp 12. Tìm khoảng biến thiên thành tích nhảy
xa của số học sinh này.
Thành tích nhảy xa của một số học sinh lớp 12
Thành tích (cm) [150; 180) [180; 210) [210; 240) [240; 270)
Số học sinh

3

5

28

[270; 300)

14

8

Lời giải.
Đầu mút phải của nhóm ghép cuối cùng là 300, đầu mút trái của nhóm ghép đầu tiên là 150. Vậy khoảng biến
thiên của mẫu số liệu là R = 300 − 150 = 150.
□

Bài 2. Người ta tiến hành phỏng vấn hai nhóm khán giả về một bộ phim mới công chiếu. Nhóm A gồm những
khán giả thuộc lứa tuổi 20 − 30, nhóm B thuộc lứa tuổi trên 30. Người được hỏi ý kiến phải đánh giá bộ phim
bằng cách cho điểm theo một số tiêu chí nêu trong phiếu điều tra và sau đó lấy tổng số điểm (thang điểm 100).
Bảng dưới đây trình bày kết quả điều tra hai nhóm khán giả:
Điểm

Điểm đánh giá của khán giả
[50; 60) [60; 70) [70; 80)

[80; 90)

[90; 100)

Số người của nhóm A

6

10

14

12

8

Số người của nhóm B

0

8

14

28

0

Ý kiến đánh giá của nhóm khán giả nào phân tán hơn?

Lời giải.
Khoảng biến thiên của ý kiến đánh giá của hai nhóm khán giả A và B tương ứng là
RA = 100 − 50 = 50 và RB = 90 − 60 = 30.
Vì RA > RB nên có thể nói là ý kiến đánh giá của nhóm khán giả A phân tán hơn so với ý kiến đánh giá của
nhóm khán giả B.
□

Bài 3. Bảng sau biểu thị kết quả điều tra thời gian sử dụng Internet hằng ngày của một số người.
Thời gian sử dụng Internet hằng ngày
Thời gian (phút) [30; 60) [60; 90) [90; 120) [120; 150)
Số người

4/16

2

4

10

5

[150; 180)
3

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

5

Chương 1. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách CTST

Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho. Kết quả cho biết điều gì?

Lời giải.
Đầu mút phải của nhóm ghép cuối cùng là 180, đầu mút trái của nhóm ghép đầu tiên là 30. Vậy khoảng biến
thiên của mẫu số liệu là R = 180 − 30 = 150.
Kết quả này cho biết thời gian sử dụng Internet hằng ngày của các thành viên thuộc nhóm người được điều tra
chênh lệch nhau nhiều nhất là 150 phút.
□
Bài 4. Bạn Trang thống kê lại chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12C, lớp 12D ở bảng sau.
Chiều cao

[155; 160)

[160; 165)

[165; 170)

[170; 175)

[175; 180)

[180; 185)

12C

2

7

12

3

0

1

12D

5

9

8

2

1

0

Lớp

Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì chiều cao của học sinh lớp nào có độ phân tán lớn hơn?

Lời giải.
Khoảng biến thiên của chiều cao học sinh nữ lớp 12C là RC = 185 − 155 = 30.
Khoảng biến thiên của chiều cao học sinh nữ lớp 12D là RD = 180 − 155 = 25.
Nhận thấy RC > RD nên chiều cao của học sinh lớp 12C có độ phân tán lớn hơn.

□

Bài 5. Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12C được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

[40; 45)

Số học sinh Tổ 1

8

16

4

2

a) Tính khoảng biến thiên R cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút thì khoảng
biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?

Lời giải.
a) Khoảng biến thiên R = 45 − 25 = 20.
b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút thì khoảng
biến thiên của mẫu số liệu gốc là 43 − 27 = 16.
□
Dạng 2. Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1

Ví dụ minh hoạ

cVí dụ 1. Bảng sau thống kê cân nặng của 50 quả xoài Thanh Ca được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu
hoạch ở một nông trường
Cân nặng (g)

[250; 290)

[290; 330)

[330; 370)

[370; 410)

[410; 450)

Số quả xoài

3

13

18

11

5

Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải.
Cỡ mẫu n = 50.
Gọi x1 ; x2 ; . . . ; x50 là mẫu số liệu gốc gồm cân nặng của 50 quả xoài được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có x1 , x2 , x3 ∈ [250; 290); x4 , . . . , x16 ∈ [290; 330); x17 , . . . , x34 ∈ [330; 370);
x35 , . . . , x45 ∈ [370; 410); x46 , . . . , x50 ∈ [410; 450).
5/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

6

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách CTST

1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x13 ∈ [290; 330).
Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
50
−3
4150
Q1 = 290 + 4
· (330 − 290) =
.
13
13
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x38 ∈ [370; 410).
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là
3 · 50
− (3 + 13 + 18)
4210
· (410 − 370) =
.
Q3 = 370 + 4
11
11
4210 4150
9080
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ∆Q = Q3 − Q1 =
−
=
.
11
13
143

□

cVí dụ 2. Biểu đồ dưới đây thống kê thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày trong tháng 9/2022 của bác
Bình và bác An.
Số ngày
30
25
25

Bác Bình

20

Bác An

15

12
8

10
5

5
3

5

2

0
[15;20)

0
[20;25)

[25;30)

[30;35)

0
[35;40)

phút

Hãy so sánh khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của
bác Bình và bác An.

Lời giải.
Dựa vào biểu đồ, ta có bảng thống kê ghép nhóm như bên dưới
Thời gian (phút)

[15; 20)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

Bác An

5

12

8

3

2

Bác Bình

0

25

5

0

0

○ Xét thống kê của bác An, ta có cỡ mẫu n = 30.
Gọi x1 ; x2 ; . . . ; x30 là mẫu số liệu thời gian tập thể dục của bác An.
Ta có: x1 , . . . , x5 ∈ [15; 20); x6 , . . . , x17 ∈ [20; 25); x18 , . . . , x25 ∈ [25; 30); x26 , x27 , x28 ∈ [30; 35); x29 ,
x30 ∈ [35; 40).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x8 ∈ [20; 25). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép
nhóm là
30
−5
505
· (25 − 20) =
.
Q1 = 20 + 4
12
24
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x23 ∈ [25; 30). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép
nhóm là
3 · 30
− (5 + 12)
455
Q3 = 25 + 4
· (30 − 25) =
.
8
16
6/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

7

Chương 1. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách CTST

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu của bác An là ∆Q = Q3 − Q1 =

355
.
48

○ Xét thống kê của bác Bình, ta có cỡ mẫu n = 30.
Gọi x1 ; x2 ; . . . ; x30 là mẫu số liệu thời gian tập thể dục của bác Bình.
Ta có: x1 , . . . , x25 ∈ [20; 25); x26 , . . . , x30 ∈ [20; 25).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x8 ∈ [20; 25). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép
nhóm là
30
−0
43
Q1 = 20 + 4
· (25 − 20) = .
25
2
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x23 ∈ [20; 25). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép
nhóm là
3 · 30
−0
49
Q3 = 20 + 4
· (30 − 25) = .
25
2
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu của bác Bình là ∆Q = Q3 − Q1 = 3.
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu của bác Bình nhỏ hơn của bác An. Suy ra bác Bình có thời gian tập đều
hơn.
□
cVí dụ 3. Giả sử kết quả khảo sát hai khu vực A và B về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia
đình được cho ở bảng sau
Tuổi kết hôn

[19; 22)

[22; 25)

[25; 28)

[28; 31)

[31; 34)

Số phụ nữ khu vực A

10

27

31

25

7

Số phụ nữ khu vực B

47

40

11

2

0

a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của từng mẫu số liệu ghép nhóm ứng với mỗi khu vực
A và B.
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực nào có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn?

Lời giải.
a) Xét ở khu vực A, khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 34 − 19 = 15.
Ta có cỡ mẫu n = 100.
Gọi x1 ; x2 ; . . . ; x100 là mẫu số liệu gốc gồm độ tuổi kết hôn của 100 phụ nữ ở khu vực A.
Ta có: x1 , . . . , x10 ∈ [19; 22); x11 , . . . , x37 ∈ [22; 25); x38 , . . . , x68 ∈ [25; 28); x69 , . . . , x93 ∈ [28; 31); x94 , . . . ,
x100 ∈ [31; 34).
x25 + x26
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu khu vực A là
∈ [22; 25). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của
2
mẫu số liệu khu vực A là
100
− 10
71
Q1 = 22 + 4
· (25 − 22) = .
27
3
x75 + x76
∈ [28; 31). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu khu vực A là
2
liệu khu vực A là
3 · 100
− (10 + 27 + 31)
721
4
Q3 = 28 +
· (31 − 28) =
.
25
25
388
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu khu vực A là ∆Q = Q3 − Q1 =
≈ 5,17.
75
Xét ở khu vực B, khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 34 − 19 = 15.
Ta có cỡ mẫu n = 100.
Gọi x1 ; x2 ; . . . ; x100 là mẫu số liệu gốc gồm độ tuổi kết hôn của 100 phụ nữ ở khu vực B.
Ta có: x1 , . . . , x47 ∈ [19; 22); x48 , . . . , x87 ∈ [22; 25); x88 , . . . , x98 ∈ [25; 28); x99 , x100 ∈ [28; 31).
7/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

8

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách CTST

1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu khu vực B là

x25 + x26
∈ [19; 22). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của
2

mẫu số liệu khu vực B là

100
968
Q1 = 19 + 4 · (22 − 19) =
.
47
47
x75 + x76
∈ [22; 25). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu khu vực B là
2
liệu khu vực B là
3 · 100
− 47
241
4
Q3 = 22 +
· (25 − 22) =
.
40
10
1647
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu khu vực B là ∆Q = Q3 − Q1 =
≈ 3,5.
470
b) Ta có khoảng tứ phân vị của khu vực A lớn hơn ở khu vực B nên khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều
hơn.
□
cVí dụ 4. Hằng ngày ông Thắng đều đi xe buýt từ nhà đến cơ quan. Dưới đây là bảng thống kê thời gian
của 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan.
Thời gian (phút)

[15; 18)

[18; 21)

[21; 24)

[24; 27)

[27; 30)

[30; 33)

Số lượt

22

38

27

8

4

1

a) Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Biết rằng trong 100 lần đi trên, chỉ có đúng một lần ông Thắng đi hết hơn 29 phút. Thời gian của lần
đi đó có phải là giá trị ngoại lệ không?

Lời giải.
a) Cỡ mẫu n = 100.
Gọi x1 ; x2 ; . . . ; x100 là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần đi xe buýt của ông Thắng.
Ta có: x1 , . . . , x22 ∈ [15; 18); x23 , . . . , x60 ∈ [18; 21); x61 , . . . , x87 ∈ [21; 24); x88 , . . . , x95 ∈ [24; 27); x96 , . . . ,
x99 ∈ [27; 30); x100 ∈ [30; 33).
x25 + x26
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là
∈ [18; 21). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số
2
liệu ghép nhóm là
100
− 22
693
Q1 = 18 + 4
· (21 − 18) =
.
38
38
x75 + x76
∈ [21; 24). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là
2
ghép nhóm là
3 · 100
− (22 + 38)
68
4
Q3 = 21 +
· (24 − 21) = .
27
3
505
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ∆Q = Q3 − Q1 =
.
114
b) Trong lần duy nhất ông Thắng đi hết hơn 29 phút, thời gian đi của ông thuộc nhóm [30; 33).
6683
Vì Q3 + 1,5∆Q =
< 30 nên thời gian của lần ông Thắng đi hết hơn 29 phút là giá trị ngoại lệ của mẫu
228
số liệu ghép nhóm.
□

8/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

9

Chương 1. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách CTST

cVí dụ 5. Thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám X được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút)
Số bệnh nhân

[0; 5)

[5; 10)

[10; 15)

[15; 20)

3

12

15

8

a) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
b) Từ một số liệu về thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám Y người ta tính được
khoảng tứ phần vị bằng 9,23. Hỏi thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám nào phân tán hơn?

Lời giải.
a) Cỡ mẫu là n = 3 + 12 + 15 + 8 = 38. Gọi x1 , . . . , x38 là thời gian chờ khám bệnh của 38 bệnh nhân này và
giả sử rằng dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu
gốc là x10 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm [5; 10) và ta có:
ï
ò
38
−3
4
Q1 = 5 +
· 5 ≈ 7,71.
12
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x29 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm [10; 15) và ta có:
ò
ï
3 · 38
− 15
4
· 5 = 14,5.
Q3 = 10 +
15
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ∆Q = Q3 − Q1 ≈ 14,5 − 7,71 = 6,79.
b) Do ∆Q = 6,79 < 9,23 nên thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám Y phân tán hơn thời gian chờ của
bệnh nhân tại phòng khám X.
□
cVí dụ 6. HÌnh dưới là biểu đồ biểu diễn lượng mưa trung bình của các tháng trong năm ở thành phố A.
mm
350
300
250
200
150
100
50

I

II

III

IV

V

VI

VII VIII

IX

X

XI

XII

Tháng

Biểu đồ lượng mưa ở thành phố A
a) Lập bảng số liệu ghép nhóm về lượng mưa của thành phố A, với độ dài các nhóm là 50 và đầu mút phải
của nhóm cuối cùng là 350.
b) Xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Nêu ý nghĩa của kết
quả tìm được.

Lời giải.
9/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

10

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách CTST

1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

a) Bảng số liệu về lượng mưa của thành phố A:
Lượng mưa (mm)

Tần số

Tần số tích luỹ

[0; 50)

2

2

[50; 100)

3

5

[100; 150)

1

6

[150; 200)

1

7

[200; 250)

1

8

[250; 300)

2

10

[300; 350)

2

12

N
3N
= 3;
= 9.
4
4
Nhóm chứa Q1 là [50; 100).

b) Ta có N = 12 nên

Q1 = 50 +

3−2
· 50 ≈ 67.
3

Q3 = 250 +

9−8
· 50 = 275.
2

Nhóm chứa Q3 là [250; 300).

Vậy ∆Q = 275 − 67 = 208.
Kết quả tìm được cho thấy: Hằng năm, ở thành phố A có 3 tháng có lượng mưa trung bình không vượt quá
67 mm và 3 tháng có lượng mưa trung bình ít nhất là 275 mm. Trong 6 tháng còn lại, lượng mưa trung bình
đạt từ 67 mm đến 275 mm và như vậy là lượng mưa của 6 tháng này có thể chênh lệch nhau đến 208 mm.
□
cVí dụ 7. Điểm kiểm tra cuối khoá môn Tiếng Anh của hai lớp ở một trung tâm ngoại ngữ được thống kê
trong các Bảng a và b.
Bảng b. Điểm của lớp B
Bảng a. Điểm của lớp A
Điểm
Số học viên (tần số)
Điểm
Số học viên (tần số)
[50; 60)

8

[50; 60)

15

[60; 70)

20

[60; 70)

20

[70; 80)

50

[70; 80)

30

[80; 90)

17

[80; 90)

20

[90; 100)

5

[90; 100)

15

a) Tìm khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu. Có thể dùng khoảng biến thiên để biết điểm của lớp nào
đồng đều hơn không?
b) Tìm các tứ phân vị và khoảng tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu.
c) Mẫu số liệu nào có độ phân tán lớn hơn? Minh hoạ câu trả lời bằng cách biểu diễn các tứ phân vị và
khoảng tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu trên trục số.

Lời giải.
a) Hai mẫu số liệu đều có khoảng biến thiên là R = 100 − 50 = 50 nên không thể căn cứ vào đó để nói điểm
của lớp nào đồng đều hơn.
b) Kích thước của hai mẫu số liệu đều là N = 100. Ta có

N
3N
N
= 25;
= 50;
= 75.
4
2
4

A
A
A
○ Đối với mẫu số liệu về điểm của lớp A, ta tìm các tứ phân vị QA
1 , Q2 , Q3 và khoảng tứ phân vị ∆Q
qua bảng tần số tích luỹ dưới đây:

10/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

11

Chương 1. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Điểm

Tần số

Tần số tích luỹ

[50; 60)

8

8

[60; 70)

20

28

[70; 80)

50

78

[80; 90)

17

95

[90; 100)

5

100

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách CTST

Nhóm chứa QA
1 là [60; 70).
25 − 8
A
Q1 = 60 +
· 10 = 68,5.
20
Nhóm chứa QA
2 là [70; 80).
50
− 28
QA
· 10 = 74,4.
2 = 70 +
50
A
Nhóm chứa Q3 là [70; 80).
75 − 28
QA
· 10 = 79,4.
3 = 70 +
50
A
Vậy ∆Q = 79,4 − 68,5 = 10,9.

B
B
B
○ Gọi QB
1 , Q2 , Q3 là các tứ phân vị và ∆Q là kho