GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI
KẾT NỐI TRI THỨC
VỚI CUỘC SỐNG

TOÁN 12
TOÁN
PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP

TẬP 1

y
y0

y = y0

H

C'

D'

y = f (x)

M

12π

O

x12π

12π

1212π

π

12

12

π

12π

12π

12π

12π

NĂM HỌC: 202412
- 2025
12π
π

12π

12π
12π

12π

12

π

12

B

A

D

π

B'

A'

π

12π

C

i

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách KNTT

MỤC LỤC

MỤC LỤC
Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1.

1

TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

A Trọng tâm kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của một hàm số cho bởi công thức

.............................................

3

1. Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số dựa vào BBT, đồ thị

................................................

4

1. Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Dạng 3. Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên miền xác định của nó

.....................................

7

1. Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Dạng 4. Một số bài toán đơn điệu liên quan đến hàm hợp

.........................................................

9

1. Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Dạng 5. Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số cho bởi công thức

....................................

10

1. Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Dạng 6. Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số dựa vào BBT, đồ thị

................................

12

1. Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Dạng 7. Tìm m để hàm số có đúng số cực trị cho trước

.........................................................

14

1. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Dạng 8. Một số bài toán vận dụng và vận dụng cao về cực trị thường gặp

................................

15

1. Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

i/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

1

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách KNTT

Chûúng

1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VẼ SỐ
ĐỒ
THỊVÀ
HÀM
THỊ HÀM SỐ
Baâi

1

TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
1

Tính đơn điệu của hàm số

1.1. Khái niệm tính đơn điệu của hàm số
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f (x) là hàm số xác định trên K.
○ Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
○ Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).
— Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (Hình a). Nếu hàm số
nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (Hình b).
y

y

f (x)
f (x)

O

x
a

b

a) Hàm số đồng biến trên (a; b)

O

x
a

b

a) Hàm số nghịch biến trên (a; b)

— Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K. Việc tìm các khoảng
đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu(hay xét tính đơn điệu) của
hàm số.
— Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm
số đó.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng K.
○ Nếu f ' (x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng K.
○ Nếu f ' (x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng K.
— Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp f ' (x) bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K.
— Người ta chứng minh được rằng, nếu f ' (x) = 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f (x) không đổi trên khoảng
1/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

2

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách KNTT

1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

K.

1.2. Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu hàm số
Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x):
○ Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
○ Bước 2. Tính đạo hàm f ' (x). Tìm các điểm xi (i = 1, 2, . . .) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn
tại.
○ Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.
○ Bước 4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2

Cực trị của hàm số

2.1. Khái niệm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là −∞, b có thể là +∞) và điểm
x0 ∈ (a; b).
○ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) < f (x0 ) với mọi x ∈ (x0 − h, x0 + h) ⊂ (a; b) và x ̸= x0 thì ta nói hàm
số f (x) đạt cực đại tại x0 .
○ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) > f (x0 ) với mọi x ∈ (x0 − h, x0 + h) ⊂ (a; b) và x ̸= x0 thì ta nói hàm
số f (x) đạt cực tiểu tại x0 .
— Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f (x). Khi đó, f (x0 )
được gọi là giá trí cực đại của hàm số f (x) và kí hiệu là fCĐ hay yCĐ . Điểm M0 (x0 ; f (x0 ) ) được gọi
là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
— Nếu hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f (x). Khi đó,
f (x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f (x) và kí hiệu là fCT hay yCT . Điểm M0 (x0 ; f (x0 )) được
gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
— Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá tri cực tiểu
được goi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

2.2. Cách tìm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0 ) và
(x0 ; b). Khi đó:
a) Nếu f ' (x) < 0 với mọi x ∈ (a; x0 ) và f ' (x) > 0 với mọi x ∈ (x0 ; b) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số
f (x).
b) Nếu f ' (x) > 0 với mọi x ∈ (a; x0 ) và f ' (x) < 0 với mọi x ∈ (x0 ; b) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số
f (x).
Giải thích vì sao nếu f ' (x) không đổi dấu khi x qua x0 thì x0 không phải là điểm cực trị của hàm số f (x)?
Định lí trên được viết gọn lại trong hai bảng biến thiên sau:
x
f ' (x)
f (x)

x0

a
−

b
+

f (x0 )

x

x0

a

f ' (x)

+

b
−

f (x0 )

f (x)

(Cực đại)

(Cực tiểu)

Từ định lí trên ta có các bước tìm cực trị của hàm số y = f (x) như sau:
○ Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
2/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

3

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách KNTT

○ Bước 2. Tính đạo hàm f ' (x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f ' (x) bằng 0 hoặc đạo hàm không
tồn tại.
○ Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số.
○ Bước 3. Từ bảng biên thiên suy ra các cực trị của hàm số.
Nếu f ' (x0 ) = 0 nhưng f ' (x) không đổi dấu khi x qua x0 thì x0 không phải
là điểm cực trị của hàm số. Chẳng hạn, hàm số f (x) = x3 có f ' (x) = 3x2 ,
f ' (0) = 0, nhưng x = 0 không phải là điểm cực trị của hàm số.

y

y = f (x) = x3

2
1
−2

−1

1

x

2

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của một hàm số cho bởi công thức

1

Ví dụ minh hoạ

cVí dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −2x2 + 4x + 3.

cVí dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
a) y = x3 − 3x2 − 9x + 1;

b) y = −x3 + 3x − 4;

4
d) y = x3 − 2x2 + x − 1;
3

e) y = −

1
c) y = − x3 + x2 − x + 5;
3

x3
− x2 − 2x + 3;
3

f) y = x3 − x2 + 2x − 1.

cVí dụ 3. Hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên R?
cVí dụ 4. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
a) y = −x4 + 8x2 + 6;

b) y = x4 − 2x2 ;

c) y = x4 + 4x2 + 1;

d) y = −x4 − x2 .

cVí dụ 5. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau
a) y =

2x − 1
;
x+2

b) y =

x+1
;
x−1

c) y = x +

4
;
x

d) y = x +

4
.
x+1

cVí dụ 6. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
a) y =

3/16

x2 + 4
;
x

b) y =

x
;
2
x +1

c) y =

x2 − 3x
.
x+1

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

4

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách KNTT

1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

cVí dụ 7. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
√
√
√
a) y = x2 + 1;
b) y = 4x − x2 ;
c) y = x2 − 6x + 5;

d) y =

√

2x − x2 − x.

cVí dụ 8. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số f (x), biết:
a) f ' (x) = x(x + 1)2 (x − 1)3 , ∀x ∈ R;

2



b) f ' (x) = x2 x2 − 4 (x − 2)2 , ∀x ∈ R.

Bài tập áp dụng

Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
a) y = x3 − 3x2 + 1;

b) y = −x3 + 3x2 + 9x;

c) y = 2x3 + 6x2 + 6x − 1;

d) y = −x3 + 3x2 − 3x + 2;

1
e) y = x3 + 4x + 1;
3

f) y = −

x3 1 2
+ x − x + 3.
3
2

Bài 2. Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên R?
Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
a) y = −x4 + 2x2 + 2019;

b) y = x4 − 2x2 − 5;

c) y = x4 + 2x2 − 3;

d) f (x) = 1 − 3x4 .

Bài 4. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau
a) y =

x−2
;
x+1

b) y =

3−x
;
x+1

c) y = x +

9
;
x

d) y = 2x − 1 +

8
.
x−1

Bài 5. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
a) f (x) =

x2 + 2x + 2
;
x+1

b) y =

2
;
2
x +1

Bài 6. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
√
√
a) y = 8 + 2x − x2 ;
b) y = x2 − 4x + 3;

c) f (x) =

c) y =

√

x2 − 6x + 5;

x2 − x + 1
.
x−1

√
d) y = x − 2 x + 2020.

Bài 7. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số f (x), biết:
a) f ' (x) = (x − 2)(x + 5)(x + 1), ∀x ∈ R;

b) f ' (x) = (x + 1)2 (x − 1)3 (2 − x), ∀x ∈ R.

Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số dựa vào BBT, đồ thị
✓ Nếu đề bài cho đồ thị y = f (x), ta chỉ việc nhìn các khoảng mà đồ thị "đi lên" hoặc "đi xuống".
○ Khoảng mà đồ thị "đi lên": hàm đồng biến;
○ Khoảng mà đồ thị "đi xuống": hàm nghịch biến.
✓ Nếu đề bài cho đồ thị y = f ' (x). Ta tiến hành lập bảng biến thiên của hàm y = f (x) theo các bước:
○ Tìm nghiệm của f ' (x) = 0 (hoành độ giao điểm với trục hoành);
○ Xét dấu f ' (x) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Ox mang dấu âm);
○ Lập bảng biến thiên của y = f (x), suy ra kết quả tương ứng.

1

Ví dụ minh hoạ

cVí dụ 1.

4/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

5

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách KNTT

y

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Tìm các khoảng
đơn điệu của hàm số f (x).

7
O

x

2

cVí dụ 2. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới. Tìm các khoảng đơn điệu của
hàm số f (x).
x

−∞

−2

y'

+

−

0

+∞

1
+

0

cVí dụ 3. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số f (x).
x

−∞

f ' (x)

0
+

0

+∞

2
−

+

0

+∞

5
f (x)
−∞

3

cVí dụ 4. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c, (a ̸= 0) có bảng biến thiên bên dưới. Hỏi đó là hàm số nào?
x

−∞

y'

−1
+

0

0
−

0

3

y
−∞

+∞

1
+

0

−

3
+∞

1

cVí dụ 5.
Cho hàm số f (x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị của hàm số y = f ' (x) là đường
cong như hình vẽ bên dưới. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số f (x).

y

−1

1

2

3
x

O

−2
−4

cVí dụ 6.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R, hàm số y = f ' (x) có đồ thị như hình
bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số f (x).

y

y = f ' (x)
4
2

−2 −1

O1

x

cVí dụ 7.

5/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

6

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách KNTT

1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

y

Cho hàm số đa thức f (x) có đồ thị y = f ' (x) như hình vẽ bên dưới. Tìm các
khoảng đơn điệu của hàm số f (x).

O
−3

2

x

−2

Bài tập áp dụng

Bài 1.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số f (x).

y
2

1

O

−1

x

1

Bài 2. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau.Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số f (x).
x

−∞

y'
y

+∞

2
−

−
+∞

2
−∞

2

Bài 3. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c, (a ̸= 0) có bảng biến thiên bên dưới. Hỏi đó là hàm số nào?
x

−∞

y'

−1
−

0

0
+

+∞

0

+∞

1
−

0

+
+∞

2

y
1

1

Bài 4. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
f (x).
x
y'

−∞

−2
−

0

+∞

0
+

0

−

Bài 5.
Cho hàm số f (x) xác định trên R và có đồ thị hàm số y = f ' (x) là đường cong trong
hình vẽ bên dưới. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số f (x).

y

−2

x

2

O
y

Bài 6.
Cho hàm số f (x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị của hàm số y = f ' (x) là
đường cong như hình vẽ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số f (x).
−2

O

2
x

6/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

7

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách KNTT

Bài 7.
Cho hàm số đa thức f (x) có đồ thị y = f ' (x) như hình vẽ bên dưới. Tìm các khoảng đơn
điệu của hàm số f (x).

y

−1

O

1

x

−3

Dạng 3. Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên miền xác định của nó
a) Tìm tham số m để hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên tập xác định.
○ Bước 1: Tìm tập xác định D = R. Tính đạo hàm y ' = 3ax2 + 2bx + c.
○ Bước 2: Ghi điều kiện để hàm đơn điệu, chẳng hạn
®
ay' > 0
'
— Để f (x) đồng biến trên R ⇒ y ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔
⇒ m.
∆y ' ≤ 0
®
ay' < 0
— Để f (x) nghịch biến trên R ⇒ y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔
⇒ m.
∆y ' ≤ 0
Dấu của tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c.
®
a>0
○ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔
∆ ≤ 0.
®
a<0
○ f (x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔
∆ ≤ 0.
○ Nếu hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có a chứa tham số thì chia ra hai trường hợp. Đó là
trường hợp a = 0 để xét tính đúng sai (nhận, loại m) và trường hợp a ̸= 0 (sử dụng dấu tam
thức bậc hai). Sau khi giải xong, hợp hai trường hợp lại.
ax + b
đơn điệu trên mỗi khoảng xác định của nó.
cx + d
ß
™
d
○ Bước 1: Tìm tập xác định D = R\ − .
c
a·d−b·c
'
.
Tính đạo hàm y =
(cx + d)2

b) Tìm tham số m để hàm số y =

○ Bước 2: Ghi điều kiện để hàm đơn điệu. Chẳng hạn
— Để f (x) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
⇒ y ' > 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − bc > 0 ⇒ m.
— Để f (x) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó
⇒ y ' < 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − bc < 0 ⇒ m.
c) Tìm tham số m để hàm số y =

ax + b
đồng biến trên (α; β).
cx + d

○ Bước 1: Tìm điều kiện x ̸= −

7/16

d
ad − cb
và tính đạo hàm y ' =
.
c
(cx + d)2

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

8

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách KNTT

1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

○ Bước 2: Hàm số đồng biến trên (α; β)


'
ad − cb > 0




y
>
0




ad
−
cb
>
0


 d
d
⇒ x ̸= −
⇔
⇔ − c ≤α

− d ∈

c

/
(α;
β)




x ∈ (α; β)

c
 −d ≥β
c

1

⇒ m.

Ví dụ minh hoạ

cVí dụ 1. Tìm tất cả giá trị m để hàm số y =

mx + 4m
nghịch biến trên từng khoảng xác định ?
x+m

cVí dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y =

x+m
đồng biến trên các khoảng xác định ?
mx + 4

cVí dụ 3. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

cVí dụ 4. Tập hợp m để hàm số y =

x+5
đồng biến trên (−∞; −8) là
x+m

(m + 1)x + 2m + 2
nghịch biến trên khoảng (−1; +∞) là
x+m

cVí dụ 5. Tìm tham số m để hàm số y =

mx − 3m + 4
nghịch biến trên khoảng (−2; 0) ?
x+m

1
cVí dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số f (x) = x3 + mx2 + 4x + 3 đồng biến
3
trên R?
1
cVí dụ 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = − x3 − mx2 + (2m − 3)x − m + 2
3
nghịch biến trên R.


cVí dụ 8. Tìm các giá trị của m để hàm số f (x) = m2 − 4 x3 + 3(m − 2)x2 + 3x − 4 đồng biến trên R ?

2

Bài tập áp dụng

Bài 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y =

mx − 5m + 6
nghịch biến trên các khoảng xác định ?
x+m

m2 x − 4
Bài 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
đồng biến trên từng khoảng xác định
x−1
?
x−2
Bài 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y =
đồng biến trên (−∞; −1) ?
x−m
mx − 2m − 3
Bài 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
đồng biến trên (2; +∞) ?
x−m
mx − 4
Bài 5. Tập họp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =
nghịch biến trên (−3; 1)?
m−x
8/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

9

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách KNTT

Bài 6. Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + 5 với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) ?
Bài 7. Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2 + 3x + 1, với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m
để hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞). Tìm số phần tử của S.


Bài 8. Hỏi có bao nhiêu số nguyên của tham số m để hàm số y = m2 − 1 x3 + (m − 1)x2 − x + 4 nghịch biến
trên R?
Dạng 4. Một số bài toán đơn điệu liên quan đến hàm hợp
Cho đồ thị y = f ' (x), hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = f (u).
○ Tính y ' = u' · f ' (u);
○ Giải phương trình

f ' (u)

=0⇔

ñ '
u =0
f ' (u) = 0( Nhìn đồ thị, suy ra nghiệm.)

;

○ Lập bảng biến thiên của y = f (u), suy ra kết quả tương ứng.

1

Ví dụ minh hoạ

cVí dụ 1. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên
x

−∞

f ' (x)

−1
+

0

+∞

3
−

0

+

f (x)

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = f (2x + 1).

cVí dụ 2. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên
x

−∞

f ' (x)

+∞

6
−

0

+

f (x)

Å
Hỏi hàm số y = f

1 2
x + 3x + 6
2

ã
nghịch biến trên các khoảng nào?

cVí dụ 3.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số y = f ' (x) như
hình bên. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = g(x) = f (x) + 3.

y

1
−1

O

4

x

cVí dụ 4. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên

9/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

10

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách KNTT

1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

x

−∞

f ' (x)

−2

0

−

−

f (x)

0

+∞

2
+

+

0

0

Hỏi hàm số y = f (f (x)) đồng biến trên những khoảng nào?

2

Bài tập áp dụng

Bài 1. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên
x

−∞

f ' (x)

0
−

+∞

2
+

0

+

0

f (x)

Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = f (−2x + 6)

Bài 2. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên
x
f ' (x)

−∞

0
+

1
−

0

0

+∞

4
+

0

+

f (x)



Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = f −x2 + 2x ?

Bài 3.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Hàm số y = f ' (x) có đồ thị
như hình vẽ sau. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g(x) = f (x) + x + 1.

y

O

1

3

−1

5
x

Bài 4. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f ' (x) có đồ thị như hình vẽ.
y
4
3
2
1

−1 O
−1

1

2

4

x

−2

Hàm số y = g(x) = f (2x − 4) nghịch biến trên khoảng nào?
Dạng 5. Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số cho bởi công thức

10/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

11

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách KNTT

Ví dụ minh hoạ

cVí dụ 1. Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của mỗi hàm số sau:
a) y = x3 −3x2 −9x+11;

b) y = −x3 − 3x2 + 1;

c) y = x4 − 4x2 + 3;

d) y = −x4 + 2x2 + 2.

cVí dụ 2. Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của mỗi hàm số sau:
a) y =

2x + 1
;
x+2

b) y =

x2 + x + 1
;
x+1

c) y =

√

3 − 2x − x2 .

cVí dụ 3. Tìm điểm cực trị của hàm số y = f (x) biết:




a) f ' (x) = (x − 1) x2 − 2 x4 − 4 , ∀x ∈ R;
b) f ' (x) = x2021 · (x − 1)2022 · (x + 1), ∀x ∈ R;




c) f ' (x) = (x − 1) x2 − 3 x4 − 1 , ∀x ∈ R.
cVí dụ 4.
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số y = f ' (x). Tìm số điểm cực trị của
hàm số y = f (x).

y

O
x

cVí dụ 5.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số y = f ' (x) như hình vẽ.
Tìm điểm cực trị của hàm số y = f (x).

y
1

O

1

2

3

x

−1

Bài tập áp dụng

2

Bài 1. Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của mỗi hàm số sau:
a) y = x3 − 12x − 1;

b) y = −x3 + 3x − 4;

c) y = x4 − 6x2 + 8x + 1;

d) y = −x4 + 2x2 + 5.

Bài 2. Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của mỗi hàm số sau:
a) y =

3x + 5
;
x−1

b) y =

x2 + 3x + 3
;
x+2

√
c) y = x 1 − x2 .

Bài 3. Tìm điểm cực trị của hàm số f (x) biết:
a) f ' (x) = x4 (2x + 1)2 (x − 1), ∀x ∈ R.;

b) f ' (x) = x(x − 1)(x + 2)3 , ∀x ∈ R;

c) f ' (x) = −2022(x − 1)(x + 2)5 (x − 3)4 , ∀x ∈ R.
11/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

12

Tài liệu học tập Toán 12 HKI - Sách KNTT

1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 4.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số y = f ' (x) như hình
vẽ. Tìm điểm cực trị của hàm số y = f (x).

y

O

1

2

Bài 5.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số y = f ' (x) như hình vẽ. Tìm
số điểm cực trị của hàm số y = f (x).

x

3

y
2
1
−1 O

1
−1

x

2

−2
Dạng 6. Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số dựa vào BBT, đồ thị

1

Ví dụ minh hoạ

cVí dụ 1. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Xác định các điểm cực trị, các
giá trị cực trị của hàm số.
x

−∞

y'
y

−1
−

0

+∞

2
+

+∞

−

0
1

−3

−∞

cVí dụ 2. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Xác định các điểm cực trị, các
giá trị cực trị của hàm số.
x

−∞

y'

−1
+

0
−

0

−∞

+

−

+∞ +∞

1

y

+∞

1

−1

−∞

cVí dụ 3.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định các điểm cực trị, các giá trị
cực trị của hàm số.

y
2
−2

x

1
−1

O

2

−2

12/16

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

13

Chươn